Question

用歸納法證明：?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：歸納法,推理和證明

分析：先驗證n=1，2，3時的情況，再假設(shè)n=k時，原不等式也成立，由此推出n=k+1≥4時，原不等式也成立，根據(jù)歸納法原理可知，對?n∈N^*，原不等式成立．

解答： 證明：（1）n=1時，3¹＞1²-

3

2

，
n=2時，3²＞2²-

3

2

，
n=3時，3³＞3²-

3

2

．
（2）假設(shè)n=k時，原不等式也成立，即3^k＞k²-

3

2

，
則當n=k+1時，有3^k+1=3•3^k＞3（k²-

3

2

）．
由3（k²-

3

2

）-[（k+1）²-

3

2

]=2k²-2k-4=2（k-2）（k+1）知，
當k≥3時，2（k-2）（k+1）＞0，∴3（k²-

3

2

）＞（k+1）²-

3

2

，
∴3^k+1＞（k+1）²-

3

2

．
即n=k+1≥4時，原不等式成立，
綜合（1）、（2）知，對?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

點評：本題考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式，值得注意的是，至少應(yīng)驗證n的前3個值，因為在第（2）部分中，當k≥3時，對不等式放縮才有效．