Question

1．已知如圖，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面ABC內(nèi)作AH⊥BC，H是垂足，連HD，則AH⊥平面BDC，HD⊥BC，由三垂線定理能證明AD⊥BC．
（2）在平面BDC內(nèi)作HR⊥BD，連AR，則∠ARH是二面角A-BD-C的平面角的補角，由此能求出二面角A-BD-C的余弦值．

解答 （1）證明：在平面ABC內(nèi)作AH⊥BC，H是垂足，連HD．
因為平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．
HD是AD在平面BDC的射影．依題設(shè)條件得HD⊥BC，
∴由三垂線定理得AD⊥BC．
（2）解：在平面BDC內(nèi)作HR⊥BD，R是垂足，連AR．
HR是AR在平面BDC的射影，∴AR⊥BD，
∴∠ARH是二面角A-BD-C的平面角的補角，
設(shè)AB=a，得AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，HR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴cos$∠ARH=\frac{RH}{AR}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{4}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．