Question

11．設A是圓x²+y²=4上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線V．
（1）求曲線C的標準方程；
（2）設曲線C的左右焦點分別為F₁、F₂，經(jīng)過F₂的直線m與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₂P|²，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）點A在圓x²+y²=4上運動，引起點M的運動，我們可以由DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA得到點A和點M坐標之間的關系式，并由點A的坐標滿足圓的方程得到點M坐標所滿足的方程；
（2）根據(jù)|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，得F₁P⊥F₁Q，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，運用設而不求的思想建立關系，求解即可．

解答 解：（1）設動點M的坐標為（x，y），點A的坐標為（x₀，y₀），
則點D坐標為（x₀，0），
由DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA可知，x=x₀，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y₀，
∵點A在圓x²+y²=4上，
∴x₀²+y₀²=4．
把x₀=x，y₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y₀代入圓的方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲線C的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可知F₂坐標為（1，0），
設P，Q坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
當直線m斜率不存在時易求|PQ|=3，|F₁P|=|F₂P|=2.5，
不符合題意；
當直線m斜率存在時，可設方程為y=k（x-1）．
代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…*
∵|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，
∴F₁P⊥F₁Q，即kF1P•kF1Q=-1
k²（x₁-1）（x₂-1）+（x₁+1）（x₂+1）=0，
展開并將*式代入化簡得，7k²=9，
解得k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或k=-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴直線m的方程為y=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$（x-1），或y=-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$（x-1）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，考查韋達定理的運用，屬于難題．