Question

15．在直徑AB為2的圓上有長度為1的動弦CD，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，設出∠BOC=x，用x表示C，D的坐標，求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$，然后化簡，即可求解它的范圍．

解答 解：如圖建立平面直角坐標系：設∠BOC=x，則C（cosx，sinx），∠BOD=x+60°，D（cos（x+60°），sin（x+60°）），A（-1，0），B（1，0），
則$\overrightarrow{AC}$=（cosx+1，sinx），$\overrightarrow{BD}$=（cos（x+60°）-1，sin（x+60°）），
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（cosx+1）[cos（x+60°）-1]+sinxsin（x+60°）
=cosxcos（x+60°）-cosx+cos（x+60°）-1+sinxsin（x+60°）
=cos60°-cosx+cos（x+60°）-1
=-cos（x-60°）-$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
故答案為：[-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查向量數(shù)量積的應用，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力，建立直角坐標系，利用坐標運算是解答本題的關鍵．