Question

【題目】對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，

且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.

(Ⅰ)寫(xiě)出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;

(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.

(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見(jiàn)解析，，

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫(xiě)出答案.

(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.

(Ⅲ) 討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.

(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.

(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；

綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.

(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

故.

綜上所述：.

當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；

當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，

故；

當(dāng)時(shí)，對(duì)于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”，故.

綜上所述：使成立的為：或.