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【題目】已知函數,為的導函數.

(1)求證:在上存在唯一零點;

(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1) 設，然后判斷函數在上的符號，得出的單調性，再利用零點存在定理判斷在上是否存在唯一零點即可；

(2) 分，，和三種情況分別考慮的零點存在情況，從而得證．

(1)設，

當時，，所以在上單調遞減，

又因為，

所以在上有唯一的零點，所以命題得證．

(2) ①由(1)知：當時，，在上單調遞增;

當時，，在上單調遞減;

所以在上存在唯一的極大值點

所以

又因為

所以在上恰有一個零點．

又因為

所以在上也恰有一個零點．

②當時，，

設，

所以在上單調遞減，所以

所以當時，恒成立

所以在上沒有零點．

③當時，

設，

所以在上單調遞減，所以

所以當時，恒成立

所以在上沒有零點．

綜上，有且僅有兩個零點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】曲線的極坐標方程為（常數），曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求曲線的直角坐標方程和的普通方程；

（2）若曲線，有兩個不同的公共點，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線是由兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的，對于曲線，有下列四個結論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線上所有的點都在單位圓內；③曲線是中心對稱圖形；④曲線上所有點的縱坐標.其中，所有正確結論的序號是______.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】德國著名數學家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數學領域成就顯著.19世紀,狄利克雷定義了一個“奇怪的函數” 其中R為實數集,Q為有理數集.則關于函數有如下四個命題,正確的為( )

A.函數是偶函數

B.,,恒成立

C.任取一個不為零的有理數T,對任意的恒成立

D.不存在三個點,,,使得為等腰直角三角形

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設數列的前n項和為,已知,,.

(1)證明:為等比數列,求出的通項公式;

(2)若,求的前n項和,并判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于正整數，如果個整數滿足，

且，則稱數組為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為均為奇數的“正整數分拆”的個數為.

(Ⅰ)寫出整數4的所有“正整數分拆”;

(Ⅱ)對于給定的整數，設是的一個“正整數分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對所有的正整數，證明:;并求出使得等號成立的的值.

(注:對于的兩個“正整數分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線過點，且焦點為F，直線l與拋物線相交于A，B兩點．

⑴求拋物線C的方程，并求其準線方程；

⑵為坐標原點.若，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于曲線，給出下列四個結論：

①曲線C關于原點對稱，但不關于x軸、y軸對稱；

②曲線C恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；

③曲線C上任意一點都不在圓的內部；

④曲線C上任意一點到原點的距離都不大于．

其中，正確結論的序號是________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設二次函數（，），關于的不等式的解集中有且只有一個元素.

（1）設數列的前項和（），求數列的通項公式；

（2）設（），則數列中是否存在不同的三項能組成等比數列？請說明理由.

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