【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
,
為正實(shí)數(shù).
(1)若的圖象總在函數(shù)
的圖象的下方,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè),證明:對任意
,都有
.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】
(1)據(jù)題意可得在區(qū)間
上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求出滿足不等式的
的取值范圍;(2)不等式整理為
,由(1)可知當(dāng)
時,
,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)
的單調(diào)性從而證明
在區(qū)間
上成立,從而證明對任意
,都有
.
(1)解:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在
的圖象的下方,
所以在區(qū)間
上恒成立.
設(shè),其中
,
所以,其中
,
.
①當(dāng),即
時,
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,
,
故成立,滿足題意.
②當(dāng),即
時,設(shè)
,
則圖象的對稱軸
,
,
,
所以在
上存在唯一實(shí)根,設(shè)為
,則
,
,
,
所以在
上單調(diào)遞減,此時
,不合題意.
綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(2)證明:由題意得,
因?yàn)楫?dāng)時,
,
,
所以.
令,則
,
所以在
上單調(diào)遞增,
,即
,
所以,從而
.
由(1)知當(dāng)時,
在
上恒成立,整理得
.
令,則要證
,只需證
.
因?yàn)?/span>,所以
在
上單調(diào)遞增,
所以,即
在
上恒成立.
綜上可得,對任意,都有
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.
(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;
(Ⅱ)若二面角CBF
D的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“初中數(shù)學(xué)靠練,高中數(shù)學(xué)靠悟”.總結(jié)反思自己已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分,為了了解總結(jié)反思對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響,某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生,抽到不善于總結(jié)反思的學(xué)生概率是0.6.
(1)完成列聯(lián)表(應(yīng)適當(dāng)寫出計(jì)算過程);
(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與善于總結(jié)反思有關(guān).
統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
不善于總結(jié)反思 | 善于總結(jié)反思 | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 | 40 | ||
學(xué)習(xí)成績一般 | 20 | ||
合計(jì) | 200 |
參考公式:其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機(jī)抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖,估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.
(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.
(i)若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生,求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);
(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.
可能用到的參考數(shù)據(jù):取,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線是由兩個定點(diǎn)
和點(diǎn)
的距離之積等于
的所有點(diǎn)組成的,對于曲線
,有下列四個結(jié)論:①曲線
是軸對稱圖形;②曲線
上所有的點(diǎn)都在單位圓
內(nèi);③曲線
是中心對稱圖形;④曲線
上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)
.其中,所有正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足:
.且
是
,
的等差中項(xiàng).又?jǐn)?shù)列
滿足:
,
,
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,且數(shù)列
為等比數(shù)列,求
的值;
(3)若,且
為數(shù)列
的最小項(xiàng),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)” 其中R為實(shí)數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù)
有如下四個命題,正確的為( )
A.函數(shù)是偶函數(shù)
B.,
,
恒成立
C.任取一個不為零的有理數(shù)T,對任意的
恒成立
D.不存在三個點(diǎn),
,
,使得
為等腰直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于正整數(shù),如果
個整數(shù)
滿足
,
且,則稱數(shù)組
為
的一個“正整數(shù)分拆”.記
均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
.
(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)
是
的一個“正整數(shù)分拆”,且
,求
的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:
;并求出使得等號成立的
的值.
(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”
與
,當(dāng)且僅當(dāng)
且
時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時,若
恰有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng)時,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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