Question

18．為了研究“教學方式”對教學質量的影響，某校數(shù)學老師分別用兩種不同的教學方式對入學時數(shù)學平均分數(shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個班級進行教學（勤奮程度和自覺性都一樣）．以下莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學生的數(shù)學期末考試成績．
（1）現(xiàn)從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績?yōu)?7分的同學中至少有一名被抽中的概率：
（2）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”．

	甲班	乙班	合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（x2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.79	10.828

參考公式：x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$．

Answer 1

分析 （1）先求得甲班數(shù)學成績不低于80分的同學人數(shù)及成績?yōu)?7分的同學人數(shù)，利用排列組合求得基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式計算；
（2）根據莖葉圖分別求出甲、乙班優(yōu)秀的人數(shù)與不優(yōu)秀的人數(shù)，列出列聯(lián)表，利用相關指數(shù)公式計算K²的觀測值，比較與臨界值的大小，判斷成績優(yōu)秀與教學方式有關的可靠性程度．

解答 解：（1）記成績?yōu)?7分的同學為A，B，其他不低于80分的同學為C、D、E，“從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果組成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）（D，E）共10個，…（2分）
“抽到至少有一個87分的同學”所組成的基本事件有：
（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）一共7個，…（4分）
所以所求事件的概率是P=$\frac{7}{10}$．…（5分）
（2）

	甲班	乙班	合計
優(yōu)秀	6	14	20
不優(yōu)秀	14	6	20
合計	20	20	40

…（7分）
Χ²=$\frac{{40×{{（6×6-14×14）}^2}}}{20×20×20×20}$=6.400＜6.635…（10分）
因此，我們沒有99%的把握認為成績優(yōu)秀與教學方式有關．…（12分）

點評 本題考查了由莖葉圖求分類變量的列聯(lián)表，及根據列聯(lián)表計算相關指數(shù)K²的觀測值，考查了古典概型的概率計算，綜合性強，計算要細心，由公式計算相關指數(shù)K²的觀測值并由觀測值判斷成績優(yōu)秀與教學方式有關的可靠性程度是解題的關鍵．