Question

8．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H-AB-C為30°，則三棱錐S-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$，三棱錐S-ABC的外接球半徑為$\frac{2a}{3}$．

Answer 1

分析 如圖，AH⊥面SBC，設(shè)BH交SC于E，連接AE．由H是△SBC的垂心，可得BE⊥SC，由AH⊥平面SBC，可得SC⊥平面ABE，得到AB⊥SC，設(shè)S在底面ABC內(nèi)的射影為O，則SO⊥平面ABC，可得AB⊥平面SCO，CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，由△ABC是正三角形．可得S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．可得三棱錐S-ABC為正三棱錐．進(jìn)而得到∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，可得SO，即可得出三棱錐S-ABC的體積．設(shè)M為三棱錐S-ABC的外接球的球心，半徑為R，則點(diǎn)M在SO上．在Rt△OCM中，利用勾股定理可得：${R}^{2}=（R-a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，解出即可．

解答 解：如圖，AH⊥面SBC，設(shè)BH交SC于E，連接AE．
∵H是△SBC的垂心，
∴BE⊥SC，
∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC，
∴AH⊥SC，又BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE，
∵AB⊆平面ABE，
∴AB⊥SC，
設(shè)S在底面ABC內(nèi)的射影為O，則SO⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，
∴AB⊥SO，又SC∩SO=S，
∴AB⊥平面SCO，
∵CO?平面SCO，
∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，
可得O是△ABC的垂心，
∵△ABC是正三角形．
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．
∴三棱錐S-ABC為正三棱錐．
由有SA=SB=SC，
延長(zhǎng)CO交AB于F，連接EF，
∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，
∴EF⊥AB，
∴∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，
∵SC⊥平面ABE，EF?平面ABE，
∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，
可得Rt△SOC中，OC=$\frac{2}{3}CF$=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
SO=OCtan60°=a，
V_S-ABC=$\frac{1}{3}SO•{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$．
設(shè)M為三棱錐S-ABC的外接球的球心，半徑為R，則點(diǎn)M在SO上．
在Rt△OCM中，MC²=OM²+OC²，
∴${R}^{2}=（R-a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，
解得R=$\frac{2a}{3}$．
故答案分別為：$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$，$\frac{2a}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面與垂直的判定定理與性質(zhì)定理、二面角的定義及其作法、正三棱錐、直角三角形的邊角關(guān)系、三棱錐的體積計(jì)算公式、三角形垂心的性質(zhì)、勾股定理、三棱錐外接球的半徑，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．