Question

6．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的固定順序的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能正確回答出三個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪；否則不能晉級(jí)．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是$\frac{2}{3}$，且每個(gè)問(wèn)題回答的正確與否都相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求該選手連續(xù)答對(duì)三道題晉級(jí)下一輪的概率；
（Ⅱ）記該選手在本輪中答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求該選手連續(xù)答對(duì)三道題晉級(jí)下一輪的概率；
（Ⅱ）記該選手在本輪中答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求出概率，然后得到隨機(jī)變量X的分布列，求解期望即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)“該選手是連續(xù)答對(duì)三道題晉級(jí)下一輪”的事件為A，…（1分）
則$P（A）={（\frac{2}{3}）^3}+\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^3}+{（\frac{1}{3}）^2}×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{104}{243}$…（5分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．…（6分）
$P（X=0）={（\frac{1}{3}）^5}=\frac{1}{243}$，
$P（X=1）=C_5^1{（\frac{2}{3}）^1}{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{10}{243}$，
$P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$，
$P（X=3）={（\frac{2}{3}）^3}+\frac{2}{3}[C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}]+\frac{2}{3}[C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^2}]=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}$，
（或$P（X=3）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）]=\frac{192}{243}=\frac{64}{81}$）（每個(gè)一分）…（10分）
隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{192}{243}$

…（11分）
隨機(jī)變量X的期望$E（X）=0×\frac{1}{243}+1×\frac{10}{243}+2×\frac{40}{243}+3×\frac{192}{243}=\frac{74}{27}$（個(gè)）…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．