Question

已知函數(shù)，.
(Ⅰ) 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(Ⅱ) 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍；
(Ⅲ) 若方程有唯一解,試求實數(shù)的值.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

試題分析：(Ⅰ)因為,所以切線的斜率

       2分
又,故所求切線方程為,即             4分
(Ⅱ)因為,又,所以當(dāng)時,；當(dāng)時, .
即在上遞增,在上遞減    5分
又,所以在上遞增,在上遞減      6分
欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,解得    8分
(Ⅲ) 原方程等價于,令,則原方程即為.                 9分
因為當(dāng)時原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)          10分
又,且，
所以當(dāng)時,，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時, ，函數(shù)單調(diào)遞減.
故在處取得最小值．                                   12分
從而當(dāng)時原方程有唯一解的充要條件是．     13分
點(diǎn)評：第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，進(jìn)而得到直線方程，由導(dǎo)數(shù)大于零可求得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零可得減區(qū)間，第三問將方程有一個根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像只有唯一交點(diǎn)，結(jié)合圖像需求函數(shù)最值