Question

15．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$），求數(shù)列{b_n}的前2n-1項(xiàng)的和T_2n-1．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵a₁=2且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即（2+d）²=2（2+3d），化為d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）b_n=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）=$（-1）^{n+1}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前2n-1項(xiàng)的和T_2n-1=$（1+\frac{1}{2}）$-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-$（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{2n-2}+\frac{1}{2n+1}）$+$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}）$=1+$\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．