Question

7．如圖，點A（2，0），直線l垂直y軸，垂足為點B，線段AB的垂直平分線與l相交于點C，
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）若P為點C的軌跡上的一動點，Q為拋物線x²=y-4上的一動點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，即可求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）求出直線OQ：（t²+4）x-ty=0，P到直線OQ的距離，表示面積，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y），則|BC|=|x|，
由題意，|AC|=|BC|，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x|，
化簡得點C的軌跡方程為y²=4（x-1）；
（Ⅱ）設P（s²+1，2s），Q（t²，t+4），則直線OQ：（t²+4）x-ty=0，
P到直線OQ的距離h=$\frac{|（{t}^{2}+4）（{s}^{2}+1）-2ts|}{\sqrt{（{t}^{2}+4）^{2}+{t}^{2}}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}|OQ|h$=$\frac{1}{2}$|（t²+4）（s²+1）-2ts|=$\frac{1}{2}$|s²t+²3s²+（s-t）²+4|≥2，
當且僅當s=t=0時，取等號，∴△OPQ面積的最小值為2．

點評 本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．