Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=

an

1-an

，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,函數(shù)的值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+1=

2an

an+1

，從而

1

an+1

=

1

2

(1+

1

an

)，進而

1

bn+1

=

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)=

1

2

•

1

bn

，由此得到{

1

bn

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而能求出bn=2n．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

2x

x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

2

(1+

1

an

)，
∵b_n=

an

1-an

，∴

1

bn

=

1

an

-1，
∴

1

bn+1

=

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)=

1

2

•

1

bn

，

1

b1

=

1

a1

-1=

1

2

，
∴{

1

bn

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴

1

bn

=

1

2n

，
∴bn=2n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．