Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=

2

，PB=1，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面ADP⊥平面DEF；
（Ⅱ）在線段AE上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-DF-E的大小為60°，若存在求出EM：MA，若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，已知條件推導(dǎo)出PB⊥BD，PB⊥AB，從而得到EF⊥平面ABCD，由此能夠證明AD⊥面DEF，從而得到平面ADP⊥平面DEF．
（2）以E為原點(diǎn)，CB、CD為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法能求出EM：MA=3：4．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，由題意知△ABD是等邊三角形，∴BD=1，
∴BD²+PB²=PD²，∴PB⊥BD，
又∵AB²+PB²=PA²，∴PB⊥AB，且AB∩BD=B，
∴PB⊥平面ABCD，∵PB∥EF，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AD，
又△BCD是等邊三角形，∴BC⊥DE，
∵AD∥BC，∴AD⊥DE，
又DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF．
∵AD?平面ADP，∴平面ADP⊥平面DEF．
（2）解：∵EF⊥平面ABCD，
∴以E為原點(diǎn)，CB、CD為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，
則D（

3

2

，0，0），F(xiàn)（0，0，

1

2

），A（

3

2

，1，0），

EM

=λ

EA

=λ(

3

2

，1，0)=（

3

2

λ，λ，0），

DM

=(

3

2

λ-

3

2

，λ，0)，

DF

=(-

3

2

，0，

1

2

)，
平面DMF的法向量為

n

=(λ，

3

2

-

3

2

λ，

3

λ)，
平面DEF的法向量

m

=(0，1，0)，
由|cos＜

n

，

m

＞|=

1

2

，得λ=

3

7

，
∴EM：MA=3：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查兩條線段的比值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．