Question

10．下列命題正確的是（　　）

• A． 若ab≠0，則$\frac{a}+\frac{a}$≥2
• B． 若a＜0，則a+$\frac{4}{a}$≥-4
• C． 若a＞0，b＞0，則lga+lgb≥2$\sqrt{lga•lgb}$
• D． 若x≠kπ，k∈Z，則sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$≥5

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的規(guī)則，逐個(gè)驗(yàn)證可得．

解答 解：選項(xiàng)A，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}$≤-2，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，由a＜0可得a+$\frac{4}{a}$≤-2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=-4，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，lga和lgb可能為負(fù)數(shù)，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，∵x≠kπ，k∈Z，∴sin²x∈（0，1]，
∴sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，t+$\frac{4}{t}$取最小值5，即sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$≥5
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．