Question

20．已知三條直線：l₁：x-2y+5=0，l₂：mx+y-5=0，l3：-2x+4y+11=0．
（1）若直線l₁⊥l₂，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若直線l₂∥l₃，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）在（1）的條件下，直線l過l₁與l₂的交點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l₁⊥l₂，可得1×m+（-2）×1=0，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）利用直線l₂∥l₃，可得4m=-2，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（3）求出交點(diǎn)（5，-5）．設(shè)所求直線方程為y+5=k（x-5），即：kx-y-5k-5=0，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為1得到$\frac{|-5k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）∵直線l₁⊥l₂，
∴1×m+（-2）×1=0，
∴m=2；
（2）∵直線l₂∥l₃，
∴4m=-2，
∴m=-$\frac{1}{2}$；
（3）聯(lián)立直線l₁，l₂方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)（1，3）．
設(shè)所求直線方程為y-3=k（x-1），
即：kx-y-k+3=0，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為1得到$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，∴4x-3y+5=0．
斜率不存在時(shí)，x=1，滿足題意
故所求的直線方程為x=1或4x-3y+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查兩條直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．