Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx（lnx-1）+b，且f′（1）=a，f（1）=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=x[f′（x）-1]，求函數(shù)F（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)題目條件可輕易求得ab
（Ⅱ）對(duì)F（x）=x[f′（x）-1]，求出極值點(diǎn)，列表求出極大值和極小值

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}（2lnx-1）$，∴f'（1）=-1，又∵f′（1）=a，所以a=-1
又f（1）=0，∴-1+b=0，b=1（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
$F（x）=2lnx-x-1，F(xiàn)'（x）=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$令F'（x）=0得x=2列表分析如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↑	極大值	↓

∴F（x）在（0，+∞）上的極大值為F（2）=2ln2-3無極小值．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在極值中得應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題型，在高考中時(shí)常涉及