Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，a₂=3，且滿足對任意的n∈N^•，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，則a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．

Answer 1

分析 通過對a_n+1-a_n≤2ⁿ變形可得a_n+1-a_n≥2ⁿ，利用a_n+1-a_n≤2ⁿ，可得a_n+1-a_n=2ⁿ，并項相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴-a_n+1+a_n≥-2ⁿ，
又∵a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+2-a_n-a_n+1+a_n≥3×2ⁿ-2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂₀₁₅=a₂₀₁₅-a₂₀₁₄+a₂₀₁₄-a₂₀₁₃+…+a₃-a₂+a₂-a₁+a₁
=2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2²+2+1
=$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$
=2²⁰¹⁵-1，
故答案為：2²⁰¹⁵-1．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．