Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x-1）²+1，（t≤x≤t+1，t為實(shí)數(shù)），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=（x-1）²+1的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，分類討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x-1）²+1的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上為減函數(shù)，則f（x）的最小值f（t+1）=t²+1；
當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，1]上為減函數(shù)，在[1，t+1]上為增函數(shù)，則f（x）的最小值f（1）=1；
當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上為增函數(shù)，則f（x）的最小值f（t）=（t-1）²+1；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵，難度中檔．