Question

9．如果f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），則稱該函數(shù)是“X-函數(shù)”．
（Ⅰ）分別判斷下列函數(shù)：①y=2^x；②y=x+1； ③y=x²+2x-3是否為“X-函數(shù)”？（直接寫出結(jié)論）
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=sinx+cosx+a是“X-函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x∈A}\\{x，x∈B}\end{array}\right.$是“X-函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)“X-函數(shù)”的定義即可判斷所給的3個(gè)函數(shù)是否為“X-函數(shù)”；
（Ⅱ）由題意，對(duì)任意x∈R，f（-x）≠-f（x），利用不等式求出a的取值范圍；
（Ⅲ）（1）根據(jù)題意，判斷對(duì)任意的x≠0，x與-x恰有一個(gè)屬于A，另一個(gè)屬于B；
（2）用反證法說明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；
（3）用反證法說明0∈A，即得A、B．

解答 解：（Ⅰ）①、②是“X-函數(shù)”，③不是“X-函數(shù)”；----（2分）
（說明：判斷正確一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)給1分）
（Ⅱ）由題意，對(duì)任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0；
因?yàn)閒（x）=sinx+cosx+a，
所以f（-x）=-sinx+cosx+a，
故f（x）+f（-x）=2cosx+2a；
由題意，對(duì)任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx；---（4分）
又cosx∈[-1，1]，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）；---（5分）
（Ⅲ）（1）對(duì)任意的x≠0，
（i）若x∈A且-x∈A，則-x≠x，f（-x）=f（x），
這與y=f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，（舍去），
（ii）若x∈B且-x∈B，則f（-x）=-x=-f（x），
這與y=f（x）是“X-函數(shù)”矛盾，（舍去）；
此時(shí)，由y=f（x）的定義域?yàn)镽，
故對(duì)任意的x≠0，x與-x恰有一個(gè)屬于A，另一個(gè)屬于B；
（2）假設(shè)存在x₀＜0，使得x₀∈A，則由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）；
（i）若$\frac{{x}_{0}}{2}$∈A，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1＜${{x}_{0}}^{2}$+1=f（x₀），矛盾，
（ii）若$\frac{{x}_{0}}{2}$∈B，則f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}$＜0＜${{x}_{0}}^{2}$+1=f（x₀），矛盾；
綜上，對(duì)任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，則（0，+∞）⊆A；
（3）假設(shè)0∈B，則f（-0）=-f（0）=0，矛盾，故0∈A；
故A=[0，+∞），B=（-∞，0]；
經(jīng)檢驗(yàn)A=[0，+∞），B=（-∞，0），符合題意．---（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了反證法與分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．