Question

9．過拋物線y²=x的頂點O作兩條互相垂直的弦OA、OB．
（1）求證：直線AB恒過定點；
（2）求弦AB中點N的軌跡方程；
（3）求△ABO面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），代入拋物線方程，求得交點A，再設(shè)出直線OB的方程，可得交點B，求得直線AB的方程，化簡整理，再令y=0，可得x=2，即可得證；
（2）由中點坐標(biāo)公式，運用平方消元，即可得到中點的軌跡方程；
（3）△ABO面積S=$\frac{1}{2}×1×$|$\frac{1}{k}$+k|≥1，可得k=±1時，△AOB的面積取最小值1．

解答 （1）證明：∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0，
∴設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），
與y²=x聯(lián)立方程，解得x_A=$\frac{1}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{1}{k}$，
∴A（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
同理B（k²，-k），
則AB的斜率為$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
則有直線AB的方程為y+k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-k²），
即為y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1），
令y=0，解得x=1．
則直線AB恒過定點（1，0）；
（2）解：設(shè)AB中點M（x，y），則由中點坐標(biāo)公式，
得x=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{k}^{2}}$+k²），y=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k），
消去參數(shù)k，得y²=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
即為AB中點的軌跡方程；
（3）解：△ABO面積S=$\frac{1}{2}×1×$|$\frac{1}{k}$+k|≥1，∴k=±1時，△AOB的面積取最小值1．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，求交點，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及直線恒過定點的求法，考查三角形面積的最小值的求法，屬于中檔題．