Question

17．設常數a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二項展開式中x⁴項的系數為40，記等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=5a，則a₁₀=10．

Answer 1

分析 由條件利用二項式定理，二項展開式的通項公式，求得 a=2．再由條件利用等差數列的性質，求得 a₃和a₂ 的值，可得a₁₀的值．

解答 解：設常數a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二項展開式中的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•a^r•x^10-3r，
令10-3r=4，求得r=2，可得x⁴項的系數為${C}_{5}^{2}$•a²=40，∴a=2．
記等差數列{a_n}的前n項和為S_n，∵已知a₂+a₄=2a₃=6，∴a₃=3．
∵S₄=5a=10=$\frac{4{（a}_{1}{+a}_{4}）}{2}$=$\frac{4{（a}_{2}{+a}_{3}）}{2}$=2（a₂+3），∴a₂=2，∴d=a₃-a₂=3-2=1，
則a₁₀=a₃+7d=3+7•1=10，
故答案為：10．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，等差數列的性質，屬于中檔題．