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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,橢圓中心到直線x+y-b=0的距離為
5
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設過橢圓C的右焦點F且傾斜角為45°的直線l和橢圓C交于A,B兩點,對于橢圓C上任一點M,若
OM
OA
OB
,求λμ的最大值.
考點:直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)利用橢圓的性質,求得a,b即可得出橢圓的方程;
(Ⅱ)根據橢圓與直線的關系,聯立方程組,結合方程根與系數的關系求解即可.
解答: 解:(Ⅰ)∵e=
c
a
=
3
2
,∴c2=
3
4
a2
,
∴b2=a2-c2=
1
4
a2
,
∵橢圓中心到直線x+y-b=0的距離為
5
2
2

∴d=
b
2
=
5
2
2
,∴b=5,b2=25,a2=4b2=100,
∴橢圓的方程為
x2
100
+
y2
25
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(5
3
,0),
由題意可知AB方程為y=x-5
3
,①
橢圓的方程可化為x2+4y2=100,②
將①代入②消去y得5x2-40
3
x+200=0,③
設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=8
3
,x1x2=40,
設M(x,y),由
OM
OA
OB

(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)=(λx1+μx2,λy1+μy2
x=λx1x2
y=λy1y2

又點M在橢圓上,
∴x2+4y2=x1x2)2+4y1y2)2
2
x
2
1
+μ2
x
2
2
+2λμx1x2+4(λ2
y
2
1
+μ2
y
2
2
+2λμy1y2
2
x
2
1
+4
y
2
1
)+μ2
x
2
2
+4
y
2
2
)+2λμ(x1x2+4y1y2
=100,④
又A,B在橢圓上,故有
x
2
1
+4
y
2
1
=100,
x
2
2
+4
y
2
2
=100,⑤
而x1x2+4y1y2=x1x2+4(x1-5
3
)(x2-5
3
)=5x1x2-20
3
(x1+x2)+300=5×40-20
3
×8
3
+300=20,⑥
將⑤,⑥代入④可得λ22+
2λμ
5
=1,
∵1=λ2+μ2+
2λμ
5
≥2λμ+
2λμ
5
=
12
5
λμ

∴λμ≤
5
12
,當且僅當λ=μ時取“=”,則λμ的最大值為
5
12
點評:本題主要考查橢圓的方程及其性質,考查直線與橢圓的位置關系及考查學生的運算求解能力,綜合性強,屬于難題.
練習冊系列答案
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設函數f(x)=
x2+bx+2,x≤0
|2-x|,x>0
若f(-4)=f(0),則函數y=f(x)-ln(x+2)的零點個數有
 
個.

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已知f(x)=x2+ax+1,若f(|x|)有4個單調區(qū)間,則a的取值范圍是
 

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已知函數f(x)=2sin(
π
4
+
x
2
)sin(
π
4
-
x
2
)sinx,給出下列五個說法:
①f(
1921π
12
)=
1
4

②f(x)在區(qū)間[-
π
6
,
π
3
]上單調遞增.
③f(x)的圖象關于點(-
π
4
,0)成中心對稱.
④將函數f(x)的圖象向右平移
4
個單位可得到y(tǒng)=
1
2
cos2x的圖象.
⑤若f(
x
2
-
π
6
)=
3
10
6
≤x≤
3
,則cosx=-
4+3
3
10

其中正確說法的序號是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

下列函數中,滿足“f(x+y)=f(x)f(y)”的單調遞增函數是( 。
A、f(x)=x
1
2
B、f(x)=x3
C、f(x)=(
1
2
)x
D、f(x)=3x

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=mx3+2nx2-12x的減區(qū)間(-2,2)
(1)試求m,n的值;
(2)求過點A(1,-11)且與曲線y=f(x)相切的切線方程;
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已知“命題p:x≤m”是“命題q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分條件,則實數m的取值范圍為
 
(用區(qū)間表示)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知集合A={x|mx2+2x+3=0}中有且只有一個元素,則m的取值集合為
 

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