Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）sinx，給出下列五個(gè)說法：
①f（

1921π

12

）=

1

4

．
②f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增．
③f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

4

，0）成中心對稱．
④將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

3π

4

個(gè)單位可得到y(tǒng)=

1

2

cos2x的圖象．
⑤若f（

x

2

-

π

6

）=

3

10

，

5π

6

≤x≤

4π

3

，則cosx=-

4+3 3

10

其中正確說法的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

+

x

2

）sin（

π

4

-

x

2

）sinx=2[(

2

2

cos

x

2

)2-(

2

2

sin

x

2

)2]sinx=cosx•sinx=

1

2

sin2x，
∴f（

1921

12

）=

1

2

sin

1921π

6

=

1

2

sin

π

6

=

1

4

，故①正確；
當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，故函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上沒有單調(diào)性，故②不正確；
當(dāng)x=-

π

4

，求得f（x）=

1

2

sin（-

π

2

）=-

1

2

，為最大值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

4

對稱，故③不正確；
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

3π

4

個(gè)單位可得到y(tǒng)=

1

2

sin2（x-

3π

4

）=

1

2

sin（2x-

3π

2

）=-

1

2

sin（

3π

2

-2x）=

1

2

cos2x的圖象，故④正確；
若f（

x

2

-

π

6

）=

1

2

sin2（

x

2

-

π

6

）=

1

2

sin（x-

π

3

）=

3

10

，則sin（x-

π

3

）=

3

5

．
∵

5π

6

≤x≤

4π

3

，∴

π

2

≤x-

π

3

≤π，則cos（x-

π

3

）=-

4

5

，
∴cosx=cos[（x-

π

3

）+

π

3

]=cos（x-

π

3

）cos

π

3

-sin（x-

π

3

）sin

π

3

=-

4

5

×

1

2

-

3

5

×

3

2

=-

4+3 3

10

，故⑤正確，
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．