Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，點(diǎn)A（0，1）與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得雙曲線方程可化為x²-4y²=4b²，點(diǎn)A（0，1）與雙曲線上的點(diǎn)的距離$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{5（y-\frac{1}{5}）^{2}+4^{2}+\frac{4}{5}}$，利用點(diǎn)A（0，1）與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，求出b，即可求雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴a=2b，
∴雙曲線方程可化為x²-4y²=4b²，
點(diǎn)A（0，1）與雙曲線上的點(diǎn)的距離$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{5（y-\frac{1}{5}）^{2}+4^{2}+\frac{4}{5}}$，
∴y=$\frac{1}{5}$時(shí)，點(diǎn)A（0，1）與雙曲線上的點(diǎn)的最小距離是$\sqrt{4^{2}+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，∴b=1，
∴a=2，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查配方法，屬于中檔題．