【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)是否存在實(shí)數(shù)t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞),
則f(﹣x)= = =﹣ =﹣f(x),
則f(x)為奇函數(shù).
(2)解:f(x)= = =1﹣ ,
則f(x)在R上的單調(diào)性遞增,
證明:設(shè)x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)=1﹣ ﹣(1﹣ )=( ﹣ )= ,
∵x1<x2,
∴ < ,
∴ ﹣ <0,
即f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函數(shù)為增函數(shù)
(3)解:若存在實(shí)數(shù)t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立,
則f(x2﹣t2)≥﹣f(x﹣t)=f(t﹣x).
即x2﹣t2≥t﹣x.
即x2+x≥t2+t恒成立,
設(shè)y=x2+x=(x+ )2﹣ ,
∵x∈[1,2],
∴y∈[2,6],
即t2+t≤2,
即t2+t﹣2≤0.
解得﹣2≤t≤1,
即存在實(shí)數(shù)t,當(dāng)﹣2≤t≤1時(shí)使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0對一切x∈[1,2]恒成立.
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f(x)的奇偶性;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并用定義證明;(3)結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】證明
(1)如果a,b都是正數(shù),且a≠b,求證: + > +
(2)設(shè)x>﹣1,m∈N* , 用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1+x)m≥1+mx.
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【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù) 在區(qū)間[﹣ , ]上的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:
2x﹣ | ﹣ π | ﹣π | ﹣ | 0 | π | |
x | ﹣ | ﹣ | ﹣ | |||
f(x) |
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并在給出的直角坐標(biāo)系中,畫出f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上的圖象;
(2)求f(x)的最小值及取最小值時(shí)x的集合;
(3)求f(x)在 時(shí)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1﹣m}.
(1)若m=﹣1求A∩B;
(2)若A∩B=,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A.y=logax
B.y=x3+x
C.y=3x
D.y=﹣
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以橢圓長、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖所示,記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線分別交橢圓于兩點(diǎn)、,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝的成本為40元,出廠單價(jià)定為60元.該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100件時(shí),每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.02元.根據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購量不會(huì)超過500件.
(1)設(shè)一次訂購量為x件,服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售商一次訂購多少件時(shí),該服裝廠獲得的利潤最大,最大利潤是多少元? (服裝廠售出一件服裝的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)﹣成本)
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【題目】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2= ,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù), +1.
(1)若,曲線y=f(x)與在x=0處有相同的切線,求b;
(2)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若對任意恒成立,求b的取值區(qū)間
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