Question

13．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)A₁在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（1）證明：AC₁⊥A₁B；
（2）設(shè)二面角A₁-AB-C的正切值為$\sqrt{15}$．求直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出平面AA₁C₁C⊥平面ABC，從而B(niǎo)C⊥平面AA₁C₁C，再求出AC₁⊥A₁C，由此能證明AC₁⊥A₁B．
（2）推導(dǎo)出平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁．作A₁E⊥CC₁，E為垂足，作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連接A₁F．得到∠A₁FD為二面角A₁-AB-C的平面角．由此能求出直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離．

解答 證明：（1）因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，A₁D?平面AA₁C₁C，
故平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，連接A₁C．
因?yàn)閭?cè)面AA₁C₁C為菱形，故AC₁⊥A₁C．
由三垂線定理得AC₁⊥A₁B．
解：（2）BC⊥平面AA₁C₁C，BC?平面BCC₁B₁．
故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁．
作A₁E⊥CC₁，E為垂足，則A₁E⊥平面BCC₁B₁．
作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連接A₁F．
由三垂線定理得A₁F⊥AB，
故∠A₁FD為二面角A₁-AB-C的平面角．
設(shè)AD=x則A₁D=$\sqrt{4-{x^2}}$，$DF=\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$，而tan∠A₁FD=$\frac{A1D}{DF}$=$\sqrt{15}$，
故x=1，所以D是AC的中點(diǎn)，
故${A_1}D=\sqrt{3}$為直線AA₁與平面BCC₁B₁的距離．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查直線到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．