Question

3．設(shè)x=-2與x=4是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值與極小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f'（-2）=0，f'（4）=0可求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的政府之間的關(guān)系可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定是極大值還是極小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b．
由極值點(diǎn)的必要條件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的兩根，
則a=-3，b=-24．．   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=3（x+2）（x-4），…（7分）
當(dāng)x＜-2時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-2＜x＜4時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=-2是f（x）的極大值點(diǎn)．極大值為f（-2）=28；
x=4是f（x）的極小值點(diǎn)，極小值為f（4）=-80  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．