Question

10．如圖：已知方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的橢圓，A，B為頂點，過右焦點的弦MN的長度為y，中心O到弦MN的距離為d，點M從右頂點A開始按逆時針方向在橢圓上移動到B停止，當0°≤∠MFA≤90°時，記x=d，當90°＜∠MFA≤180°，記x=2$\sqrt{2}$-d，函數(shù)y=f（x）圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通過對稱性只需考慮x∈[0，$\sqrt{2}$）即可．設過點F的直線l的方程，通過點到直線的距離公式可用d表示出斜率k，聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用韋達定理及兩點間距離公式計算可得x∈[0，$\sqrt{2}$）時函數(shù)y=f（x）的表達式，進而可得結論．

解答 解：由題易知該圖象關于x=$\sqrt{2}$對稱，
即只考慮0°≤∠MFA≤90°即x∈[0，$\sqrt{2}$）即可．
∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，點F為其右焦點，
∴F（$\sqrt{2}$，0），
設過點F的直線l斜率為k （0≤k＜$\frac{π}{2}$），
則直線l的方程為：y=k（x-$\sqrt{2}$），
∴x=d=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即x²=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，化簡得：k²=$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得：$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}-4\sqrt{2}{k}^{2}x+4{k}^{2}-4=0$，
由韋達定理可得：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
則|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{32{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-16}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16（1+{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{4（1+\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}）}{1+2•\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}}$
=$\frac{8}{2+{x}^{2}}$，
∴函數(shù)y=f（x）=$\frac{8}{2+{x}^{2}}$（0≤x＜$\sqrt{2}$）的圖象如圖，
故選：B．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查過焦點的直線截橢圓的弦長問題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．