Question

8．已知$\frac{1}{3}≤k＜1$，設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是關(guān)于x的方程|2^x-1|=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x₃，x₄（x₃＜x₄）是方程|2^x-1|=$\frac{k}{2k+1}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值是log₂3．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y═|2^x-1|的圖象，利用數(shù)形結(jié)合確定（x₄-x₃）和（x₂-x₁）的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)y=|2^x-1|的圖象如圖：
由圖象知當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時(shí)，x₂-x₁最小，此時(shí)由|2^x-1|=$\frac{1}{3}$，
得2^x-1=$\frac{1}{3}$或2^x-1=-$\frac{1}{3}$，
即2^x=$\frac{4}{3}$或2^x=$\frac{2}{3}$，
則x=log₂$\frac{4}{3}$或x=log₂$\frac{2}{3}$，即x₂=log₂$\frac{4}{3}$或x₁=log₂$\frac{2}{3}$，
則x₂-x₁=log₂$\frac{4}{3}$-log₂$\frac{2}{3}$=log₂2=1，
對(duì)于$\frac{k}{2k+1}$則當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{k}{2k+1}$有最小值為$\frac{\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{5}$，
則當(dāng)|2^x-1|=$\frac{k}{2k+1}$=$\frac{1}{5}$時(shí)，x₄-x₃最小，
即此時(shí)2^x-1=$\frac{1}{5}$或2^x-1=-$\frac{1}{5}$，
即2^x=$\frac{6}{5}$或2^x=$\frac{4}{5}$，
則x=log₂$\frac{6}{5}$或x=log₂$\frac{4}{5}$，即x₄=log₂$\frac{6}{5}$或x₃=log₂$\frac{4}{5}$，
則x₄-x₃=log₂$\frac{6}{5}$-log₂$\frac{4}{5}$=log₂$\frac{3}{2}$，
故（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值是log₂3，
故答案為：log₂3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．