Question

12．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線l交拋物線C于M，N兩點，已知|MN|=4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點F任意作相互垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交拋物線C于不同的兩點A，B和不同的兩點D，E，設(shè)線段AB，DE的中點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點R，并求出定點R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{p}{2}$代入拋物線方程得出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)|MN|=4列方程解出p；
（2）設(shè)直線l₁的斜率為k，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出P，Q的坐標(biāo)，求出PQ的方程，根據(jù)方程特點判斷是否過定點．

解答 解：（1）拋物線的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），∴直線l的方程為x=$\frac{p}{2}$．
把x=$\frac{p}{2}$代入y²=2px得y=±p．
∴|MN|=2p=4，即p=2．
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）設(shè)直線l₁的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l₁的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
∴AB的中點P（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
同理求出Q（1+2k²，-2k）．
當(dāng)$\frac{2}{k}=-2k$即k=1或-1時，直線PQ方程為x=3．
當(dāng)k≠±1時，直線PQ的斜率k_PQ=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
∴直線PQ的方程為y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），即（k²-1）y+（x-3）k=0．
∴直線PQ經(jīng)過點（3，0）．
綜上，直線PQ過定點R（3，0）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率，屬于中檔題．