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2.已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率等于32,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=14x2的焦點(diǎn).
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)Q為橢圓Γ的左頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)(-65,0)與橢圓Γ交于A,B兩點(diǎn).
(1)若直線l垂直于x軸,求∠AQB的大�。�
(2)若直線l與x軸不垂直,是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形?如果存在,求出直線l的方程;如果不存在,請說明理由.

分析 (I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1,根據(jù)條件列方程組解出a,b即可;
(II)(1)把x=-65代入橢圓方程解出A,B坐標(biāo),根據(jù)三角形的邊長即可求出∠AQB;
(2)設(shè)AB斜率為k,聯(lián)立方程組求出A,B坐標(biāo)的關(guān)系,通過計(jì)算QAQB=0得出QAQB,則當(dāng)△QAB為等腰直角三角形時(shí),取AB中點(diǎn)N,則QN⊥AB,計(jì)算QN的斜率判斷是否為-1k即可得出結(jié)論.

解答 解:(I)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1,(a>b>0).
拋物線y=14x2的焦點(diǎn)為(0,1),
{b=1ca=32a22=c2,解得a2=4,
∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(II)Q(-2,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),直線l的方程為x=-65.則直線l與x軸交于M(-65,0).
聯(lián)立方程組{x=65x24+y2=1,解得{x=65y=45{x=65y=45
不妨設(shè)A在第二象限,則A(-65,45),B(-65,-45).
∴|QM|=|AM|=45
∴∠AQM=45°,∴∠AQB=2∠AQM=90°.
(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l方程為y=k(x+65)(k≠0).
聯(lián)立方程組{y=kx+65x24+y2=1,消元得(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0.
∴x1+x2=240k225+100k2,x1x2=144k210025+100k2
y1y2=k2(x1+65)(x2+65)=144k4100k225+100k2-65k2240k225+100k2+36k225
QA=(x1+2,y1),QB=(x2+2,y2),
QAQB=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=144k210025+100k2-480k225+100k2+4+144k4100k225+100k2-65k2240k225+100k2+36k225=0.
∴QA⊥QB,即△QAB是直角三角形.
假設(shè)存在直線l使得△QAB是等腰直角三角形,則|QA|=|QB|.
取AB的中點(diǎn)N,連結(jié)QN,則QN⊥AB.
又xN=12(x1+x2)=-120k225+100k2=-24k22+20k2,yN=k(xN+65)=6k5+20k2
∴kQN=6k16k2+10,∴kQN•kAB=6k216k2+10≠-1.
∴QN與AB不垂直,矛盾.
∴直線l與x軸不垂直,不存在直線l使得△QAB為等腰三角形.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓,拋物線的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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