Question

已知點M是圓C：上的一點，且軸，為垂足，點滿足,記動點的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求面積S的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）設N（x,y）,M（），則由已知得，，，                     2分
代入得，．                                                        4分
所以曲線E的方程為.                                                           5分
(Ⅱ)方法一：
因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，
則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，
由，消去，并整理，得
.                                                          7分
設，，又,
所以，，                                                9分
因為,
所以，即，
所以，即，
因為，所以．　　                                                      12分
又點到直線的距離，
因為，
所以　                                            14分
所以，即的最大值為．                                                   15分
(Ⅱ)方法二：
因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，
則弦不能與垂直，故可設直線的方程為，
由，消去，并整理，得
.
設，，，，又，
所以，.                                                9分
因為，所以.
因為，
所以，
所以，                                                                  12分
又點到直線的距離，所以.
所以.     
設，則，                                              14分
所以，即的最大值為．                                                 15分
點評：直線與圓錐曲線的位置關系問題每年高考都會出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，關鍵是運算量大，所以在解決此類問題時，要注意設而不求、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應用.