Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<1時，試確定函數(shù)g(x)＝f(x－a)－x2的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－a－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－a－1，＋∞)．(2)見解析

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，根據(jù)到函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)g(x)＝f(x－a)－x2的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為該函數(shù)和x軸的交點個數(shù)問題，研究這個函數(shù)的單調(diào)性和圖像，找到它和軸的交點個數(shù)。

解析：

(1)因為f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝－a－1.

當(dāng)x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，－a－1)	－a－1	(－a－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－a－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－a－1，＋∞)．

(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個零點．

理由如下：

由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，

顯然x＝0為此方程的一個實數(shù)解，

所以x＝0是函數(shù)g(x)的一個零點．

當(dāng)x≠0時，方程可化簡為ex－a＝x.

設(shè)函數(shù)F(x)＝ex－a－x，則F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.

當(dāng)x變化時，F(xiàn)(x)和F′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，a)	a	(a，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	極小值	?

即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)．

所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因為a<1，

所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，

所以對于任意x∈R，F(xiàn)(x)>0，

因此方程ex－a＝x無實數(shù)解．

所以當(dāng)x≠0時，函數(shù)g(x)不存在零點．

綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個零點．