Question

17．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，且a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}（n≥2，且n∈{N^*}）$，求{b_n}的前n項和T_n
（3）數(shù)列{c_n}滿足lgc₁₌$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{3^n}$（n≥2，且n∈N^*），試問是否存在正整數(shù)p，q其中（1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列？若存在求出滿足條件所有的數(shù)組（p，q）；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將n換為n-1，兩式相減，可得{a_2n-1}，{a_2n}都是公差為2的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和；
（3）假設存在正整數(shù)數(shù)組（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列，則lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差數(shù)列，從而可用p表示出q，觀察可知（p，q）=（2，3）滿足條件，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可證明（p，q）=（2，3）唯一符合條件．

解答 解：（1）a_na_n+1=2（S_n+1），
當n＞1時，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），
兩式相減可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
由a_n＞0，可得a_n+1-a_n-1=2，
即有{a_2n-1}，{a_2n}都是公差為2的等差數(shù)列，
由a₁=2，可得a₂=$\frac{2×（1+2）}{2}$=3，
即有a_2n-1=2n，a_2n=2n+1．
即有a_n=n+1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}（n≥2，且n∈{N^*}）$
=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
即有{b_n}的前n項和T_n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
=-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$；
（3）數(shù)列{c_n}滿足lgc₁=$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{3^n}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$（n≥2，且n∈N^*），
假設存在正整數(shù)數(shù)組（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比數(shù)列，
則lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差數(shù)列，
于是，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，
所以，q=3^q（$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$）（☆）．
易知（p，q）=（2，3）為方程（☆）的一組解．    
當p≥3，且p∈N*時，$\frac{2（p+1）}{{3}^{p+1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{2-4p}{{3}^{p+1}}$＜0，
故數(shù)列{$\frac{2p}{{3}^{p}}$}（p≥3）為遞減數(shù)列                                      
于是$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，
所以此時方程（☆）無正整數(shù)解．      
綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對（p，q）=（2，3），
使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列．

點評 本題考查等差、等比數(shù)列的綜合問題，考查等差數(shù)列的通項公式，考查遞推公式求數(shù)列通項，數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，存在性問題往往先假設存在，然后以此出發(fā)進行推理論證得到結(jié)論．