Question

12．已知在正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，則直線CE，AF的夾角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 連結BF，取BF中點O，連結EO、CO，則∠OEC是直線CE，AF的夾角（或夾角的補角），由此能求出直線CE，AF的夾角的余弦值．

解答 解：連結BF，取BF中點O，連結EO、CO，設正四面體棱長為2，
∵在正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，
∴EO∥AF，∴∠OEC是直線CE，AF的夾角（或夾角的補角），
AF=CE=BF=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，EO=FO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
CO=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠OEC=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{7}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$．
∴直線CE，AF的夾角的余弦值是$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．