已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l和橢圓交于兩點(diǎn)A，B，且
AF
=2
FB
，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由已知直接得到橢圓的半焦距和橢圓的長半軸，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線l的方程是x=my+1，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由
AF
=2
FB
得到A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得m的值，則直線l的方程可求．
解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2，
b2=a2-c2=3，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是x=my+1，
由
x2
4
+
y2
3
=1
x=my+1
，消去x并整理得（4+3m2）y2+6my-9=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則y1+y2=-
6m
4+3m2
  ①，
y1y2=-
9
4+3m2
  ②，
∵
AF
=2
FB
，得y1=-2y2  ③，
由①②③解得m2=
4
5
，m=±
2
5
5
．
因此存在直線l：x=±
2
5
5
y+1，使得
AF
=2
FB
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了向量共線的坐標(biāo)表示，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
2-i
1-i
，其中i是虛數(shù)單位，則|z|=（　�。�
A、
10
2
B、
5
2
C、
5
2
D、
5
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a=20.5，b=log23，c=log2
2
2
，則有（　�。�
A、a＞b＞c
B、b＞a＞c
C、c＞a＞b
D、b＞c＞a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-ax2+bx．
（1）若a＞0，b＞0，且不等式f（x）≤1在R上恒成立，求證：b≤2
a
；
（2）若a=-
1
4
，且不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；   
（3）設(shè)0＜a＜1，b＞0，求不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，
PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+2(x≤-1)
x2(x＞0)
．
（1）求f（-4）、f（f（-1））的值；
（2）若f（a）=
1
4
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x＞0，y＞0，2x+3y+4=12xy，則2x+3y的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)8（a3-1）=（a-1）（a+1）（a2+a+1），且a≠1，則a的值是（　�。�
A、7B、15C、35D、63

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai（i=1，2，3，4），此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi（i=1，2，3，4），若
a1
1
=
a2
2
=
a3
3
=
a4
4
=k，則
4
i=1
ihi=
2S
k
；類比以上性質(zhì)，將體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi（i=1，2，3，4），若
S1
1
=
S2
2
=
S3
3
=
S4
4
=k，則
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案