Question

是否存在數(shù)列{b_n}使得（2b₁-n）C

1 n

+（2b₂-n）C

2 n

+（2b₃-n）C

3 n

+…+（2b_n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立？若存在，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：分別令n=1，2，3，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再把它進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵（2b₁-n）C

1 n

+（2b₂-n）C

2 n

+（2b₃-n）C

3 n

+…+（2b_n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立，
故當(dāng)n=1時(shí)，有2 b₁ -1=1，∴b₁ =1；
當(dāng)n=2時(shí)，有 2 b₁ -2+2b₂ -2=2，∴b₂ =2；
當(dāng)n=3時(shí)，有 2 b₁ -3+2b₂ -3+2b₃ -3=3，求得b₃=3．
故應(yīng)有 b_n=n，即 （2-n）C

1 n

+（4-n）C

2 n

+（6-n）C

3 n

+…+（2n-n）C

n n

=n對一切n∈N^*成立，
即

C

0 n

+C

1 n

+2C

2 n

+3C

3 n

+…+nC

n n

=1+n•2^n-1 ①，對一切n∈N^*成立，
即 nC

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+…+

C

0 n

=1+n•2^n-1 ②對一切n∈N^*成立．
再把①②相加可得（n+1）

C

0 n

+（n+1）

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

=2+2n•2^n-1，
即

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2ⁿ，即（1+1）ⁿ=2ⁿ 對一切n∈N^*成立．
故存在數(shù)列{b_n}，且b_n=n，滿足條件．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，用倒序向加法進(jìn)行數(shù)列求和，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．