Question

15．已知B，C兩點在圓O：x²+y²=1上，A（a，0）為x軸上一點，且a＞l．給出以下命題：
①$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最小值為一1；
②△OBC面積的最大值為1；
③若a=$\sqrt{2}$，且直線AB，AC都與圓O相切，則△ABC為正三角形；
④若a=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ＞0），則當△OBC面積最大時，|AB|=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；
⑤若a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{BC}$，圓O上的點D滿足$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$，則直線BC的斜率是$±\frac{1}{2}$．
其中正確的是⑤（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 ①設C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=acosθ（a＞1），可得最小值，即可判斷出正誤；
②不妨取B（1，0），則△OBC面積=$\frac{1}{2}×1×sinθ$$≤\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤；
③若a=$\sqrt{2}$，且直線AB，AC都與圓O相切，則∠BAO=∠CAO=45°，即可判斷出△ABC的形狀，即可判斷出正誤；
④若a=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ＞0），可知：A，B，C三點共線，設AB：my=x-$\sqrt{2}$（m＜0），聯(lián)立與圓的方程聯(lián)立化為$（1+{m}^{2}）{y}^{2}+2\sqrt{2}my$+1=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|BC|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，原點O直線AC的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，可得S_△OBC=$\frac{1}{2}|BC|d$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出，即可判斷出正誤；
⑤若a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{BC}$，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（x₀，y₀），直線AB的方程為：y=$k（x-\frac{\sqrt{5}}{2}）$，與圓的方程聯(lián)立化為（4+4k²）x²-$4\sqrt{5}{k}^{2}$x+5k²-4=0，△＞0．利用圓O上的點D滿足$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$，可得x₀=x₁+x₂，y₀=y₁+y₂，代入圓的方程化簡即可解出，即可判斷出正誤．

解答 解：①設C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=acosθ（a＞1），因此最小值為-a，故不正確；
②不妨取B（1，0），則△OBC面積=$\frac{1}{2}×1×sinθ$$≤\frac{1}{2}$，其最大值為$\frac{1}{2}$，因此不正確；
③若a=$\sqrt{2}$，且直線AB，AC都與圓O相切，則∠BAO=∠CAO=45°，則△ABC為等腰直角三角形，因此不正確；
④若a=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ＞0），可知：A，B，C三點共線，設AB：my=x-$\sqrt{2}$（m＜0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為$（1+{m}^{2}）{y}^{2}+2\sqrt{2}my$+1=0，△＞0，|m|＞1．∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{2}m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$，
∴|BC|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$2\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$，原點O直線AC的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，∴S_△OBC=$\frac{1}{2}|BC|d$=$\frac{1}{2}×$$2\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}}$×$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}-1+\frac{4}{{m}^{2}-1}+4}}$≤$\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{4+4}}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當m²=3時取等號，即△OBC面積取得最大值$\frac{1}{2}$，此時|AB|=2×$\sqrt{\frac{3-1}{3+1}}$=1，因此不正確；
⑤若a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{BC}$，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（x₀，y₀），直線AB的方程為：y=$k（x-\frac{\sqrt{5}}{2}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{\sqrt{5}}{2}）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（4+4k²）x²-$4\sqrt{5}{k}^{2}$x+5k²-4=0，△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{5}{k}^{2}}{4+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-$\sqrt{5}$k
=$-\frac{4\sqrt{5}k}{4+4{k}^{2}}$，∵圓O上的點D滿足$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$，∴x₀=x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{5}{k}^{2}}{4+4{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=$-\frac{4\sqrt{5}k}{4+4{k}^{2}}$，∴$（\frac{4\sqrt{5}{k}^{2}}{4+4{k}^{2}}）^{2}$+$（-\frac{4\sqrt{5}k}{4+4{k}^{2}}）^{2}$=1，化為4k⁴+3k²-1=0，解得$k=±\frac{1}{2}$，∴直線BC的斜率是$±\frac{1}{2}$，正確．
綜上可得：只有⑤正確．
故答案為：⑤．

點評 本題綜合考查了直線與圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．