20．設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0，則（{\overrightarrow a+\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$的最大值為$\sqrt{2}+1$．

分析 將所求展開，利用已知三個(gè)向量為單位向量，并且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，得到所求為$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+1，利用商量下公式求最值．

解答 解：由已知得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow+{\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+1；
根據(jù)幾何意義，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+1=（$\sqrt{2}+1$）cosθ，所以最大值為$\sqrt{2}+1$；
故答案為：$1+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是將所求變形為向量夾角的式子．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長(zhǎng)均相等，D為AA1的中點(diǎn)．M、N分別是BB1、CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=C1N．當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是（　�。�
A．平面DMN⊥平面BCC1B1
B．三棱錐A1-DMN的體積為定值
C．△DMN可能為直角三角形
D．平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，$\frac{π}{4}$]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

11．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1、AB上，下列命題：
①A1C⊥B1E；
②在平面A1B1C1D1內(nèi)總存在于平面B1EF平行的直線；
③△B1EF在側(cè)面BCC1B1上的正投影是面積為定值的三角形；
④當(dāng)E、F為中點(diǎn)時(shí)，平面B1EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形；
⑤若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，則其軌跡為一個(gè)矩形的四周．
其中所有真命題的序號(hào)是②③④．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．已知函數(shù) f（x）=lnx-ax（a∈R）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn) x1，x2（x1＜x2）
（I）求a的取值范圍；
（Ⅱ）判斷$\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$與a的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

15．已知B，C兩點(diǎn)在圓O：x2+y2=1上，A（a，0）為x軸上一點(diǎn)，且a＞l．給出以下命題：
①$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最小值為一1；
②△OBC面積的最大值為1；
③若a=$\sqrt{2}$，且直線AB，AC都與圓O相切，則△ABC為正三角形；
④若a=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ＞0），則當(dāng)△OBC面積最大時(shí)，|AB|=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；
⑤若a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{BC}$，圓O上的點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$，則直線BC的斜率是$±\frac{1}{2}$．
其中正確的是⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{2}$x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m2+n2=a，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．（1）證明：①C${\;}_{n}^{r}$+C${\;}_{n}^{r+1}$=C${\;}_{n+1}^{r+1}$；②C${\;}_{2n+2}^{n+1}$=2C${\;}_{2n+1}^{n}$（其中n，r∈N*，0≤r≤n-1）；
（2）某個(gè)比賽的決賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員之間進(jìn)行，比賽共設(shè)2n+1局，每局比賽甲獲勝的概率均為p（p＞$\frac{1}{2}$），首先贏滿n+1局者獲勝（n∈N*）．
①若n=2，求甲獲勝的概率；
②證明：總局?jǐn)?shù)越多，甲獲勝的可能性越大（即甲獲勝的概率越大）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞1）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（Ⅱ）判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

8．已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，則em+e3n的最小值$2\sqrt{e}$．

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