Question

10．Rt△ABC中，AB=AC，以C點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊AB上，且橢圓過A、B兩點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠AFC=θ，$∠BCF=θ-\frac{π}{4}$，在△BCF中，由正弦定理求得丨BC丨，在Rt△ABC中，$|{BC}|=\sqrt{2}|{AC}|=2\sqrt{2}csinθ$，列方程取得θ的正弦及余弦值，分別表示出，|AC|及|AF|，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，代入即可求得橢圓的離心率．

解答 解：如圖，設(shè)∠AFC=θ，則$∠BCF=θ-\frac{π}{4}$．（F在AB上，F(xiàn)是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)）

設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則|CF|=2c，|AC|=2c•sinθ，|AF|=2c•cosθ．
在△BCF中，由正弦定理和合分比定理，$\frac{{|{BC}|}}{sinθ}=\frac{{|{BF}|}}{{sin（θ-\frac{π}{4}）}}=\frac{{|{BC}|+|{BF}|}}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}=\frac{2a}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$．
∴$|{BC}|=2a•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$．
在Rt△ABC中，$|{BC}|=\sqrt{2}|{AC}|=2\sqrt{2}csinθ$，
由此得到$2\sqrt{2}csinθ=2a•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}=2c（{sinθ+cosθ}）•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，
∴$\sqrt{2}sinθ[sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）]=sinθ（sinθ+cosθ）$．
∴$tanθ=\sqrt{2}$，$sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴$\frac{c}{a}=\frac{{|{FC}|}}{{|{AF}|+|{AC}|}}=\frac{2c}{2ccosθ+2csinθ}=\frac{1}{cosθ+sinθ}=\frac{1}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{3}{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題橢圓的離心率的求法，正弦定理及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．