Question

15．設命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線；命題q：?x₀∈R，x₀²+2mx₀+2-m=0
已知“p∨q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 當命題p為真命題時，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線，可得（1-2m）（m+2）＜0．當命題q為真命題時，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，可得△≥0．由“p∨q”為假命題，則p，q都是假命題，即可得出．

解答 解：當命題p為真命題時，方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示雙曲線，∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞$\frac{1}{2}$．
當命題q為真命題時，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，∴△=4m²-4（2-m）≥0，解得m≤-2，或m≥1；
若“p∨q”為假命題，則p，q都是假命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤\frac{1}{2}}\\{-2＜m＜1}\end{array}\right.$，解得-2＜m≤$\frac{1}{2}$；
∴m的取值范圍為（-2，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程、一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關系、簡易邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．