Question

7．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2．
（I）證明：PD⊥BO；
（Ⅱ）求二面角A-DP-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）要證明直線PA垂直BO，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)只需要證明BO垂直于PA所在的面PAD即可．
（2）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）在△AOB中，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，
則AB²=AO²+BO²，∴AO⊥BO．
∵P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BO．
又AO?面PAO，PO?面PAO，且AO∩PO=O，
∴BO⊥平面PAO．
又PD?平面PAO，∴PD⊥BO．
（2）由（1）知BO⊥平面PAO，PO⊥BO，
則過O作OE⊥PD于E，連接BE，
則PD⊥平面OEB，
即∠OEB是二面角A-DP-B的平面角，
∵OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，AO⊥BO，
∴OD=3，PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則S_△POD=$\frac{1}{2}$•OD•OP=$\frac{1}{2}$PD•OE，
即OE=$\frac{OD•OP}{PD}$=$\frac{3}{2}$，
則BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
則cos∠OEB=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
即二面角A-DP-B的余弦值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線垂直的判斷，以及二面角的求解，根據(jù)定義求出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．