15．已知函數(shù)f（x）=x2+xlnx
（1）求這個函數(shù)的導數(shù)f′（x）；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

分析 （1）運用導數(shù)的運算性質，以及導數(shù)公式，求得函數(shù)f（x）的導數(shù)；
（2）運用導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，求得切點，由點斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x2+xlnx的導數(shù)為f′（x）=2x+lnx+x•$\frac{1}{x}$
=2x+lnx+1；
（2）由題意可知切點的橫坐標為1，
所以切線的斜率是k=f'（1）=2×1+ln1+1=3，
切點縱坐標為f（1）=1+1×ln1=1，故切點的坐標是（1，1），
所以切線方程為y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，正確求導和運用直線的方程是解題的關鍵．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a+b=3$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）斜率為1的直線l不經(jīng)過點P（4，1），交橢圓M不同的A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點P，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1的中點，則二面角M-CD1-A的余弦值為（　�。�
A．$\frac{\sqrt{3}}{6}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}}{3}$D．$\frac{\sqrt{6}}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD和四邊形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G為線段AB的中點
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角D-FG-B（鈍角）的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．在空中，取直線l為軸，直線l與l′相交于O點，夾角為30°，l′圍繞l旋轉得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面．已知直線l∥平面α，l與α的距離為2，平面α與圓錐面相交得到雙曲線Γ．在平面α內，以雙曲線Γ的中心為原點，以雙曲線的兩個焦點所在直線為y軸，建立直角坐標系．
（Ⅰ）求雙曲線Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α內，以雙曲線Γ的中心為圓心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓記為曲線�！�，在�！渖先稳∫稽cP，過點P作雙曲線Γ的兩條切線交曲線�！溆趦牲cM、N，試證明線段MN的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2．
（I）證明：PD⊥BO；
（Ⅱ）求二面角A-DP-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知f（x）=$\frac{{{e^{-x}}}}{a}+\frac{a}{{{e^{-x}}}}$（a＞0）是定義在R上的偶函數(shù)，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調性；
（3）若關于x的不等式f（x）-m2+m≥0的解集為R，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知數(shù)列{an}滿足：a1a2…an=1-an，n∈N*．
（1）證明：{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記Tn=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{{{a}_{1}a}_{2}…{a}_{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$（n∈N*），Sn=T1+T2+…+Tn，證明：$\frac{1}{2}$≤S2n-Sn$＜\frac{3}{4}$．

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