Question

18．已知P：方程X²+mX+m+3=0有一正一負兩根，q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，如果p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 P：方程X²+mX+m+3=0有一正一負兩根，可得$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+3）＞0}\\{m+3＜0}\end{array}\right.$，解得m范圍．q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，m=0時不滿足題意，舍去；當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m范圍．如果p或q為真，p且q為假，可得p與q必然一真一假即可得出．

解答 解：P：方程X²+mX+m+3=0有一正一負兩根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+3）＞0}\\{m+3＜0}\end{array}\right.$，解得m＜-3．
q：不等式mX²+2X+1＞0恒成立，m=0時不滿足題意，舍去；當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
如果p或q為真，p且q為假，
∴p與q必然一真一假，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{m≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥-3}\\{m＞1}\end{array}\right.$，
解得m＜-3或m＞1．
∴m的取值范圍是m＜-3或m＞1．

點評 本題考查了一元二次方程有實數根與判別式的關系、一元二次不等式的解集與判別式的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．