Question

8．已知F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)，由F₁、F₂分別作直線l：y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）的垂線段，垂足為M、N，若|MN|=$\sqrt{3}$c，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)△CMF₂∽△CF₁N，建立比例關(guān)系，求出CM和MF₂的大小，根據(jù)直角三角形建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：直線l：y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）過定點(diǎn)C（1，0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），不妨設(shè)c＞1，
l：由y=$\frac{2b}{\sqrt{3}a}$（x-1）得2bx-$\sqrt{3}$a-2b=0，
則|FM₂|=$\frac{|2bc-2b|}{\sqrt{4^{2}+3{a}^{2}}}$，
則$\frac{CN}{CM}$=$\frac{C{F}_{1}}{C{F}_{2}}$=$\frac{c+1}{c-1}$，
則|CN|=$\frac{c+1}{c-1}$•|CM|，
∵|MN|=$\sqrt{3}$c，
∴|MN|=$\frac{c+1}{c-1}$•|CM|+|CM|=$\frac{2c}{c-1}$|CM|=$\sqrt{3}$c，
則|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（c-1），
∵|CF₂|²=|MF₂|²+|CM|²，
∴（c-1）²=$\frac{4^{2}（c-1）^{2}}{4^{2}+3{a}^{2}}$+$\frac{3（c-1）^{2}}{4}$，
即$\frac{4^{2}}{4^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即16b²=4b²+3a²，
則a²=4b²=4（c²-a²），
即5a²=4c²，
即$\sqrt{5}$a=2c，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)三角形的相似性建立比例關(guān)系求出相應(yīng)的線段長度，建立關(guān)于a，c的方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．