Question

5．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1在y軸正半軸上的頂點為M，右焦點為F，延長線段MF與橢圓交于N．
（1）求直線MF的方程；
（2）若該橢圓長軸的兩端點為A，B，求四邊形AMBN的面積．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓方程可知M（0，1）、F（1，0），進而利用兩點式可得方程；
（2）通過（1）聯(lián)立直線MF與橢圓方程，利用韋達定理可知y_N=-$\frac{1}{3}$，利用S_{四邊形AMBN}=S_△ABM+S_△ABN計算即得結論．

解答 解：（1）依題意，M（0，1），F(xiàn)（1，0），
∴直線MF的方程為：$\frac{y-0}{x-1}$=$\frac{1-0}{0-1}$，
整理得：x+y-1=0；
（2）聯(lián)立直線MF與橢圓方程，
消去x整理得：3y²-2y-1=0，
由韋達定理可知：1+y_N=$\frac{2}{3}$，即y_N=-$\frac{1}{3}$，
由橢圓方程可知|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形AMBN}=S_△ABM+S_△ABN
=$\frac{1}{2}•$|AB|•（|y_M|+|y_N|）
=$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{2}$•（1+$\frac{1}{3}$）
=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，涉及直線方程、三角形面積公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于基礎題．