Question

18．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP
（1）求證：平面BEF⊥平面PAC
（2）求三棱錐M-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）要證平面BEF⊥平面PAC，可證平面BEF經(jīng)過平面PAC的一條垂線，關(guān)鍵是證明BE垂直于平面PAC，
由PB⊥平面ABC得到PB⊥AC，再由已知BC⊥AC，結(jié)合線面垂直的判斷得到AC⊥平面PBC，即有AC⊥BE，
又由已知得到BE⊥PC，則BE⊥面PAC；
（2）由S_△AEF=S_△PAC-S_△ACE-S_△PEF求出三角形AEF的面積，利用等積法把三棱錐M-BEF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B-AEF的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又∵BC⊥AC，且PB∩BC=B，
∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥BE，
又∵PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC，則BE⊥面PAC．
∴面BEF⊥面PAC；
（2）解：在三角形PAC中，$PC=4\sqrt{2}，CA=4，PA=4\sqrt{3}$，
∴∠PCA=90°，
∵S_△AEF=S_△PAC-S_△ACE-S_△PEF=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
又∵BE=2$\sqrt{2}$是三棱錐B-AEF的高，
∴${V}_{M-BEF}=\frac{1}{2}{V}_{A-BEF}=\frac{1}{2}{V}_{B-AEF}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•BE=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{8\sqrt{2}}{3}•2\sqrt{2}=\frac{16}{9}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．