Question

AB為圓O的直徑，點E、F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1
（Ⅰ）求證：BF⊥平面DAF
（Ⅱ）求平面ADF與平面CDFE所成的二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AD⊥BF，AF⊥BF，由此能證明BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）取CD、EF的中點G，H，以O為原點，OA、OH、OG為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ADF與平面CDFE所成的二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
∵AF∩AD=A，
∴BF⊥平面DAF．
（Ⅱ）解：如圖，取CD、EF的中點G，H，由題意OG、AB、OH兩兩垂直，
所以以O為原點，OA、OH、OG為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
∵等邊△OEF中，OH=

3

2

，
∴B（-1，0，0），F(xiàn)（

1

2

，

3

2

，0），
D（1，0，1），E（-

1

2

，

3

2

，0），

DF

=(-

1

2

，

3

2

，-1)，

EF

=(1，0，0)，
由（Ⅰ）知平面ADF的一個法向量為

BF

=(

3

2

，

3

2

，0)，
設平面CDEF的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DF =- 1 2 x+ 3 2 y-z=0 n • EF =x=0

，取y=2，得

n

=(0，2，

3

)，
∴cos＜

n

，

BF

＞=

7

7

，
設所求二面角為θ，由圖知θ是鈍角，
∴cosθ=-

7

7

，
∴平面ADF與平面CDFE所成的二面角的余弦值為-

7

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．